学习笔记1 - MinString的博客

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学习笔记1

2026-09-22

学习笔记

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高等线性代数

由于这是第一次写笔记，会有很多数学公式。主要参考了洛谷LaTeX格式手册和katex手册。

承接上一节课#

这是一个一般的线性方程组

(*) \begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = b_2 \\ \qquad \vdots \\ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n = b_m \end{cases}

这是一个齐次线性方程组

\begin{cases} a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = 0 \\ a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = 0 \\ \qquad \vdots \\ a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 + \cdots + a_{m,n}x_n = 0 \end{cases}

齐次线性方程组一定有解，至少存在有零解。若 $m<n$ 则一定有非零解。

1.2矩阵#

定义 $\text{设}m,n\ge1,\text{且设}\mathbb{F}\text{是一个数域}$

$\text{由}\mathbb{F}\text{中}m \cdot n \text{个数}a_{i,j}(i=1,2,\dots m \quad j=1,2,\dots,n)\text{构成矩阵图表}$

\qquad \qquad \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \qquad \text{或} \qquad \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}

$\text{称为数域}\mathbb{F}\text{上的}m\text{行}n\text{列矩阵}(matrix)\text{，简称为} m\times n\text{矩阵。特别地，若}m=n\text{，则称为方阵，也称为}n\text{阶方阵}$

$\text{通常用大写字母}A,B,C,\dots \text{表示矩阵} \; \text{例如}A=(a_{i,j})_{m\times n}=(a_{i,j})\text{当上下文清楚时可以省略}m \times n$

记

\begin{aligned} M_{m\times n}(\mathbb{F}) &= \{A=(a_{i,j})_{m\times n}\mid a_{i,j}\in \mathbb{F}\}\\ &= \mathbb{F}^{m\times n} \end{aligned} \qquad M_{n\times n}(\mathbb{F}) = M_{n}(\mathbb{F})

由线性方程组 $(*)$ 得到两个矩阵

A=(a_{i,j})_{m\times n}\text{，}\tilde{A}=\left( \begin{matrix} {\Large A} & \begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix} \end{matrix} \right) \in M_{m \times n+1}(\mathbb{F})

A\text{称为系数矩阵}(coefficient\;matrix)\text{，}\tilde{A}\text{称为增广矩阵}(augmented\;matrix)

与线性方程组的初等变换类似，可以对系数矩阵(增广矩阵)作如下变换:

交换两行位置
用一个非 $0$ 的数乘以某一行
将某一行乘以 $k$ 加到某一行上

上面的三种变换称为矩阵的初等变换 $(elementary\;row\;transformation/operation)$ ，类似地有初等列变换 $(elementary\;column\;transformation/operation)$

1.3向量空间#

$n\text{维向量空间称为}\mathbb{F}^n$

向量：具有大小和方向的量n

定义：设 $n \ge 1,\mathbb{F}\text{是一个数域，由}\mathbb{F}\text{中的}n\text{个数}a_1,a_2,\dots,a_n\text{构成的有序数组。}\alpha =(a_1,a_2,\dots,a_n)\text{称为}\mathbb{F}\text{上的}n\text{维}(\text{行})\text{向量}$

\text{记}\mathbb{F}=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{F}\}

\text{有时为了表达方便，会考虑n维列向量}\quad \alpha= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \text{，其中}a_i\in\mathbb{F}

向量的加法与数乘:

设 $\mathbb{F}$ 是一个数域，且 $n\ge 1$ 。

记

\mathbb{F}^n=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid a_1,a_2,\dots,a_n\in\mathbb{F}\}

在 $\mathbb{F}^n$ 上定义向量的加法以及数与向量的乘法（简称数乘）。

设

\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n),\quad \beta=(b_1,b_2,\dots,b_n)\in\mathbb{F}^n

且 $k\in\mathbb{F}$ ，定义

\alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\dots,a_n+b_n)

k\alpha=(ka_1,ka_2,\dots,ka_n)

记 $\mathbf{0}=(0,0,\dots,0)$ 称 $\mathbf{0}$ 为零向量。

对于 $\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 记 $-\alpha=(-a_1,-a_2,\dots,-a_n)$ 称 $-\alpha$ 为 $\alpha$ 的负向量。

根据定义，上述两个运算满足如下性质。

其中

\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{F}^n,\quad k,l\in\mathbb{F}

(VS1) 加法结合律 $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$
(VS2) 加法交换律 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$
(VS3) 零向量 $\alpha+\mathbf{0}=\alpha$
(VS4) 负向量 $\alpha+(-\alpha)=\mathbf{0}$
(VS5) 单位元 $1\alpha=\alpha$
(VS6) 数乘结合律 $(kl)\alpha=k(l\alpha)$
(VS7) 数乘对数的加法满足分配律 $(k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha$
(VS8) 数乘对向量加法满足分配律 $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$

以上八条性质就是向量加法与数乘所满足的基本运算性质。

向量和线性方程组

A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \qquad

{\alpha}_i=(a_{i,1},a_{i,2},\dots,a_{i,n})\text{称为}A\text{的第}i\text{行向量}

{\beta}_j=\begin{pmatrix}a_{1,j}\\ a_{2,j}\\ \vdots \\ a_{m,j}\end{pmatrix}\text{称为}A\text{的第}j\text{列向量}

可见

A=\begin{pmatrix} {\alpha}_1 \\ {\alpha}_2 \\ \vdots \\ {\alpha}_m \end{pmatrix}=({\beta}_1,{\beta}_2,\dots,{\beta}_n)

\tilde{A}=({\beta}_1,{\beta}_2,\dots,{\beta}_n,{\beta})

由此，线性可以表示为

{\beta}_1x_1+{\beta}_2x_2+\dots+{\beta}_nx_n={\beta}

现在考虑 $(*)$ 是否有解。现在可以这样表述：

(*)\text{有解，当且仅当其常数项组成的列向量是其未知量系数组成的}n\text{个}m\text{维列向量的倍数的和}

定义

\text{设} {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_s\in \mathbb{F}^n(n\text{维向量})\; k_1,k_2,\dots,k_s\in \mathbb{F}

\text{称}k_1{\alpha}_1+\dots+k_s{\alpha}_s\text{称为}{\alpha}_1,\dots,{\alpha}_s \text{的一个线性组合}(linear\;combination)

\text{设} {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_s,{\alpha}\in \mathbb{F}^n

\text{若}{\alpha}=k_1{\alpha}_1+k_2{\alpha}_2+\dots+k_s{\alpha}_s \text{则称} {\alpha} \text{可用} {\alpha}_1,\dots,{\alpha}_s \text{线性表示}

不行了，打这个文章好力竭，数学公式好难打，不如手写✍️

在使用数学公式的时候，在 $ $ 之内的汉文字符需要用\text{}来框住，不然会出现偶尔的编码问题。

勘误#

以下是发布后发现的错误，按所在小节列出。

已修正

「1.2矩阵」定义中“若 $m=n$ 称为方阵，称为 $n$ 阶方阵”，改为“若 $m=n$ ，则称为方阵，也称为 $n$ 阶方阵”。
「1.2矩阵」初等变换一段，“称上面的三种变换称为…”多了一个“称”，已删去。
「1.2矩阵」定义中的 $m,n\le 1$ （小于等于）应为 $m,n\ge 1$ （大于等于），已修正。
「1.3向量空间」定义中的 $n\le 1$ 应为 $n\ge 1$ ，已修正。
全文有 12 个独立公式原来写在同一行的 $$...$$ 中，或用单个 $ 包住，被渲染成了行内公式，已改为单独成行显示。

待修正

「1.3向量空间」定义下方“记 $\mathbb{F}=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)\mid\dots\}$ ”应为 $\mathbb{F}^n$ 。
「1.2矩阵」增广矩阵所属的 $M_{m\times n+1}(\mathbb{F})$ 宜写成 $M_{m\times(n+1)}(\mathbb{F})$ 。
「1.3向量空间」中“向量：具有大小和方向的量n”，末尾多了一个 n。
「向量和线性方程组」中“由此，线性可以表示为”，应为“由此，线性方程组可以表示为”；式中的 $\beta$ 指常数项组成的列向量 $\beta=(b_1,b_2,\dots,b_m)^T$ ，前文未定义。
「向量和线性方程组」线性组合的定义中“称…称为…的一个线性组合”多了一个“称”。
文末关于 \text{} 的小贴士补充：只有公式里夹着汉字时才需要用 \text{}，整句中文直接写在公式外面即可，否则长公式在手机上会超出屏幕。

学习笔记1

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作者

MinString

发布于

2026-09-22

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

承接上一节课#

1.2矩阵#

1.3向量空间#

勘误#

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