定理内容#

设有一列闭区间 $[a_n,b_n],n \ge 1,a_n\ne b_n$，满足条件

并且有

则存在唯一的实数 $\gamma$使得

证明#

证明： 考虑数列 $\{a_n\}$ $\{b_n\}$，他们分别是单调递增、单调递减的有界数列,记他们的极限分别为$a,b$,由于 $a_n<b_n$，我们有

由于

故$a=b$。取$\gamma=a$，则满足定理要求。

注1 去掉闭区间的条件则不再成立

注2 利用闭区间套原理可以证明确界原理(我还不会)

定义1#

有 $a_n=(1+\frac{1}{n})^n$

因此$a_n$单调有界，故他收敛。记

定义2#

考虑数列$\{S_n\}$，其中

$\{S_n\}$单调递增且有界，因此他收敛，记

注意 我们还需要证明

基本列定义#

或另一个等价写法

有限覆盖定理(Heine-Borel定理,Borel-Lebesgue定理)#

定理内容： 闭区间的任意一个开覆盖必有有限子覆盖

证明： 考虑使用反证，现存在一个闭区间$X=[a,b]$这个闭区间有一个开覆盖$S=\{I_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$，假设这个开覆盖没有有限子覆盖。考虑设$J_0=[a,b]$，将$[a,b]$分成两个区间$[a,\frac{a+b}{2}],[\frac{a+b}{2},b]$，由于这个闭区间没有有限子覆盖，那么这两个区间中至少有一个没有有限子覆盖，记这个区间为$J_1$，用这样的方式可以一直分下去，最终得到

由闭区间套原理可知存在唯一的$\gamma\in X$满足

那么由于$\gamma\in X$且$I_\lambda$是开集，所以一定存在$\varepsilon>0,\lambda_0$使得$(\gamma-\varepsilon,\gamma+\varepsilon)\subseteq I_{\lambda_0}$，由于$|J_n|\to0$，则存在$N\in\mathbb{N}$使得 $\forall n>N$时，有$|J_n|<\varepsilon$且$\gamma\in J_n\Rarr J_n\subseteq I_{\lambda_0}$，这就意味着我们所假设的无限个无法被有限个子覆盖覆盖的$J_n$被一个的开区间覆盖了，这与我们的假设矛盾。$\Box$

注 $I_\lambda$是一个开集不一定是一个单独的开区间

Bolzano–Weierstrass定理(波尔查诺–魏尔斯特拉斯定理)#

定理内容： 有界数列必有收敛子列

证明： 先设有一个数列$\{a_n\}$，有一个闭区间$[a,b]$使得

如果$A$为有限集那么根据鸽巢原理，一定存在某个数出现了无数次，那么可以知道这个数可以对应一个收敛子列。那么现在考虑$A$为无限集。

施工中🚧

作业1.2.6#

题目： 设数列 $a_n$ 满足

求证

证明：

令

则

令

对于$n>N$时$\frac{\max\{a_1,a_2,\dots,a_n\}}{n}$的大小，考虑$a_k$其中 $k\le n$

情形一 $k\le N_1$

情形二 $N_1<k\le n$

由于

又因为 $k\le n$，故

综上所述

故

思路分析：

考虑将 $\max\{a_1,a_2...,a_n\}$ 分成两部分$a_1,...,a_N,...,a_n$，前一半放缩为常数比$n$即 $\frac{M}{n}$ 的形式，一定小于$\varepsilon$，之后的有$\frac{a_k}{n}<\varepsilon$则整体的max小于$\varepsilon$，得证。

作业1.2.5#

题目： 证明数列$\{(-1)^n+\frac{2}{n}\}$发散

思路分析：

考虑分奇偶项，奇偶极限不同故数列发散。